▲科技日报相关报道截图https://www.stdaily.com/web/gdxw/2026-08/14/content_564153.html）

《科技日报》8月14日刊发《我学者微积分原创成果在国际数学家大会上引关注》。报道中，丁小平把自己对现行微积分原理的质疑，进一步追溯到“传统的实数理论没有区分数和量，无法描述现实事物在发展过程中的过渡状态”，并提出新的数—形模型。这里最难理解的一步，不是“新模型是什么”，而是在此之前的问题：数学这么抽象，为什么还要从“模型”角度看它？

要理解这一点，可以先离开微积分，想一想我们熟悉的“地图”。

地图不是城市本身。地图把道路画成线，把地铁站画成点，把不同区域用边界隔开。现实中的道路有宽度、有坡度、有车流，地铁站也不是一个没有大小的点，但为了导航，我们把复杂现实压缩成更简单的表示。地图越简单，越容易使用；太简单，又可能丢掉重要信息。

科学里的模型也是如此。力学把物体处理成“质点”，并不是说世界上真有只有质量而没有大小的物体；工程学把某些材料视为“刚体”，也不意味着现实材料绝不形变。这样的理想化能够让问题变得可计算。只要研究目的和适用范围明确，模型的简化恰恰是科学力量的重要来源。

▲选自康定斯基的《点线面》

数学看上去比物理更纯粹，却同样离不开对基本对象的规定。什么叫“点”？什么叫“数”？什么叫“直线”？什么叫“连续”？这些规定一旦确立，后续定义、定理和推演就沿着它们展开。从这个意义上说，基础数学也存在“选择什么基本对象、怎样规定它们关系”的模型问题。

以往研究中，丁小平把“现行实数体系和点的规定”称为传统数学的数—形模型。他的观点是，实数负责“数”的一面，点负责“形”的一面，由此构成分析数学和几何描述的基础。他进一步认为，这套模型善于描述已经确定下来的数值和位置，却不足以表达“从无到有”“正在形成”的过渡状态，因此在解释微积分中的变化时留下了问题。官方报道则把这一主张概括为：传统实数理论没有区分数和量，无法描述现实事物发展过程中的过渡状态。

这里需要特别提醒读者：这是报道所介绍的研究者主张，不等于数学界已经形成的结论。现代数学对实数连续性、极限、拓扑、测度以及流形等问题已有成熟理论。一个新的数—形模型是否真的比现有体系更有解释力，需要通过严格定义、证明和同行评价来判断。媒体报道的价值，在于把这个问题呈现出来；学术判断仍需要回到理论本身。

那么，为什么从模型角度看数学仍然值得重视？

第一，它能帮助我们区分“现实对象”和“数学对象”。现实中的一根线有粗细，数学直线没有宽度；现实中的一个物体始终处在复杂联系中，数学模型往往只选取少数变量。知道这一点，我们就不会把数学符号误认为现实本身，也更容易理解数学为什么如此强大，同时又为什么总有适用条件。

第二，它能帮助我们看懂数学争论究竟发生在哪一层。很多争论并不是某个公式算错了，而是双方对基本对象怎样规定、哪些性质应当被保留有不同意见。欧氏几何和非欧几何的差异，就不是谁把角度算错了，而是几何体系的基本假设不同。一个基础模型改变，后面的理论结构也可能随之改变。

一个模型完全可以在大量问题上极其成功，同时仍有研究者尝试构造别的模型。经典力学在宏观低速条件下极其有效，相对论出现以后它也没有被扔进垃圾桶，而是被放回更清楚的适用范围。数学模型的比较同样要看：新的模型是否保持旧体系已经取得的可靠成果，又是否在某些问题上提供新的统一解释或新方法。

▲太阳系模型

丁小平把科学模型概括为“简单性和代表性的统一”，并强调任何模型都有代表性，也有失真性。这种关于模型的观点不难理解：没有抽象，科学无法计算；抽象一旦发生，就意味着舍弃了一部分现实细节。对我们而言，真正困难的，是判断哪些舍弃是合理的，哪些舍弃会影响理论所要解决的问题。

回到微积分，这个问题就变得具体起来。微积分研究变化。传统分析用实数、函数、极限等概念精确表达变化率和累积过程。丁小平提出的挑战是：现有表示是否更擅长描述变化“完成后的数值关系”，而没有把变化“正在发生”的过渡环节作为独立对象表达？于是，他尝试引入“Werden（化变）”概念，给过渡状态一个新的数学位置。

这恰恰说明模型讨论的意义：如果一个研究者认为旧理论的困难来自某个公式，他会改公式；如果他认为困难来自更底层的对象规定，就会尝试改模型。改模型的代价显然更大，因为它会牵动大量定义与定理；潜在收益也更大，因为一旦新模型真正成立，可能重新组织很多旧知识。

读《我学者微积分原创成果在国际数学家大会上引关注》，不妨先不急着判断新模型对不对。先理解“为什么会想到改模型”，已经能帮助我们进入报道真正讨论的问题。

数学不是一堆从天而降、永远不能追问的符号。任何形式体系都有基本对象、基本关系和基本规定。研究者当然可以追问这些前提，只是越接近基础，论证责任越重。

从模型看数学，最终训练的是一种科学态度：既尊重成熟理论解决问题的能力，也允许继续追问它的前提；既看到抽象带来的力量，也意识到抽象意味着选择。对基础研究来说，这种对“我们究竟用什么方式描述世界”的追问，本身就是原创思想经常发生的地方。

科技日报报道链接：
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注：图源网络

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